Absolwent Państwowej Wyższej Szkoły Muzycznej w Warszawie (1975), laureat III nagrody w prestiżowym Konkursie Dyrygenckim im. Herberta von Karajana w Berlinie. Dyrygował najznakomitszymi orkiestrami na świecie, m.in. Filharmonikami Berlińskimi, Nowojorskimi, Chamber Orchestra of Europe, Philharmonia Orchestra, London Symphony Orchestra, London Philharmonic, Royal Philharmonic, Royal Scottish National, BBC Scottish Symphony i BBC National Orchestra of Wales, Wiener Symphoniker, Münchner Rundfunkorchester, Deutsches Symphonie-Orchester Berlin, Orkiestrą Teatru Maryjskiego, Cincinnati Symphony, Yomiuri Nippon Symphony, Tokyo Philharmonic, Hong Kong Philharmonic i New Zealand Symphony Orchestra.
Artysta równolegle prowadzi ożywioną działalność jako dyrygent operowy. W 1976 roku został gościnnym dyrygentem Deutsche Oper am Rhein w Düsseldorfie, później pracował z zespołami English National Opera, Opera North w Leeds, Opéra-Comique w Paryżu, operami w Lyonie, Bordeaux, Zurychu, Sztokholmie, Teatro de la Maestranza w Sewilli, Teatro Colón w Buenos Aires. W 1998 roku objął stanowisko dyrektora artystycznego i muzycznego, a w 2002 roku również naczelnego Teatru Wielkiego – Opery Narodowej w Warszawie. W latach 2006–2008 regularnie współpracował z zespołem Litewskiej Opery Narodowej, z którą wystąpił na festiwalach w Lublanie, Rawennie i Tel Awiwie.
W 2011 roku otrzymał prestiżowy Elgar Society Medal. Na specjalne zaproszenie Marthy Argerich artysta od kilku lat stale gości na festiwalu w Lugano.
Od początku swojej działalności artystycznej regularnie współpracuje z Narodową Orkiestrą Symfoniczną Polskiego Radia w Katowicach, której w 1978 roku został pierwszym dyrygentem, a dwa lata później – dyrektorem muzycznym; funkcję tę pełnił także w latach 2009–2012.
Od 1 września 2013 roku Jacek Kaspszyk pełni funkcję dyrektora artystycznego Filharmonii Narodowej. Poprowadził pierwsze w historii Filharmonii koncerty transmitowane przez Internet. W maju 2015 roku odbył z zespołami FN tournée po Wielkiej Brytanii, entuzjastycznie przyjęte przez krytykę.
Jacek Kaspszyk nagrał wiele płyt, a jego rejestracja Króla Rogera Szymanowskiego z zespołami Teatru Wielkiego – Opery Narodowej (CD Accord) nominowana była do nagrody Nagranie Roku „BBC Music Magazine”. Krytyk magazynu „Gramophone” napisał o tym nagraniu: „w każdym najmniejszym szczególe zdołał osiągnąć absolutnie wszystko”.